1) On trouve les résultats suivants :
Les résultats numériques sont établis par ordinateur. Ils peuvent être légèrement différents de ceux que l’on obtient par la table.
P ( 12.24 < X < 13.65 ) = 0.11576
P ( 8.25 < X < 9.74 ) = 0.18564
P ( 7.51 < X < 11.33 ) = 0.46797
P ( 9.62 < X < 12.03 ) = 0.30109
P ( 7.46 < X < 10.54 ) = 0.37283
Le détail des trois premières probabilités :
1. calcul simple
P ( 12.24 < X < 13.65 ) = 0.11576
P ( 12.24 < X < 13.65) = P ( X < 13.65) – P ( X < 12.24)
P (X< 13.65 )= 0.88813
P (X< 12.24 )= 0.77237
P ( 12.24 < X < 13.65 ) = 0.88813 – 0.77237 = 0.11576
2. calcul par symétrie
P ( 8.25 < X < 9.74 ) = 0.18564
P ( 8.25 < X < 9.74 ) = P( 10 + [10 – 9.74] < X < 10 + [10–8.25] ) (par symétrie)
P ( 8.25 < X < 9.74 ) = P(10.26 < X < 11.75) = P( X < 11.75) – P( X < 10.26 )
P ( X< 11.75 ) = 0.72017
P ( X< 10.26 ) = 0.53453
3. calcul par symétrie et passage au complémentaire
P ( 7.51 < X < 11.33 ) = 0.46797
P ( 7.51 < X < 11.33 ) = P ( X < 11.33 ) – P ( X < 7.51)
P(X< 11.33)= 0.67124
P(X< 7.51 ) = P (X > 10+ [10–7.51] ) (par symétrie)
P(X< 7.51 ) = P (X > 12.49 )
P(X< 7.51 ) = 1 – P (X < 12.49 ) (passage au complémentaire)
P(X< 12.49 ) = 0.79673
P (X< 7.51 ) = P(X> 12.49 )= 1 – 0.79673 = 0.20327
P ( 7.51 < X < 11.33 ) = 0.67124 – 0.20327 = 0.46797
2) La densité est définie par la fonction :
f(x) = 0.25 pour 9 < x < 13
f(x) = 0 sinon
P( 9.5< X < 11), P (10.5 < X < 12.5 ), P (8.5 < X < 11.5) , P(9.62 < X < 14.03)
Les deux premières probabilités ne présentent aucune difficulté :
P( 9.5< X < 11) = 0.25 x (11 – 9.5)
P (10.5 < X < 12.5 ) = 0.25 x (12.5 – 10.5)
Pour calculer les deux autres :
P (8.5 < X < 11.5)
P (8.5 < X < 11.5) = P (8.5 < X < 9) + P( 9 < X < 11.5 )
La première probabilité de la somme est nulle puisque X prend ses valeurs entre 9 et 13. On obtient :
P ( 8.5 < X < 11.5) = 0 + 0.25 x ( 11.5 – 9 ) = 0.625
P ( 9.5 < X < 14.03 )
P ( 9.5 < X < 14.03 ) = P (9.5 < X < 13 ) + P (13 < X < 14.03 )
La seconde probabilité de la somme est nulle puisque X prend ses valeurs entre 9 et 13. On obtient :
P (9.5 < X < 14.03 ) = 0.25 x (13 - 9.5) + 0 = 0.875